2. 벡터

현대의 대부분의 게임은 가상의 공간을 표현한다.

2D 게임은 좌표평면이라 부르는 2차원 데카르트 좌표계를 구성한다.

3D는 좌표공간인 3차원 데카르트 좌표계에서 표현된다.

 

게임은 현실을 모방한다. 정확히 말하면 현실에서 이루어지는 물리법칙과 현상을 모방하고자 한다. 

여기에 게임적 허용을 더해 표현한다.

그렇기에 공간에서의 움직임을 컴퓨터의 연산을 통해 가상 세계에서 구현해야 한다.

그렇기에 벡터는 가장 중요하고 기본이 되는 개념이다.

 

1. 벡터 공간과 벡터

좌표평면은 두 실수 (x,y)를 결합하여 만들어진다. 실수이기에 체의 구조를 띠는 연산 성질을 갖는다.

이를 기반으로 새로운 공리를 사용하여 새로운 집합을 규정하고 새로운 연산체계를 만들어 평면에서의 움직임을 표현하고자 했다.

벡터 공간은 두 가지 기본연산이 존재한다.

• 벡터와 벡터의 덧셈     

• 스칼라와 벡터의 곱셈 

2. 벡터의 크기와 이동

벡터의 크기란 수와 같이 원점으로 부터의 최단 거리를 의미한다. 피타고라스의 정리를 이용하여

다음과 같이 표현된다.

벡터의 크기는 Norm 이라고 하고 크기가 1인 벡터는 단위 벡터(Unit Vector) 라고 한다.

임의의 크기를 갖는 벡터를 해당 벡터의 크기로 나누면 크기가 1인 단위 벡터가 되고 이를 정규화(Normalize)한다고 표현한다.

 

3. 벡터의 결합과 생성

벡터의 선형결합은 n 개의 스칼라와 n개의 벡터를 사용하여 새로운 벡터를 생성하는 수식을 의미한다.

벡터의 선형 결합에는

선형 종속, 선형 독립의 관계가 있다.

위의 수식을 만족하는 경우는 모든 a가 0이면 해당 수식은 만족한다. 

하지만 0이 아닌 경우에도 만족하는 경우가 있는데 이때의 경우를 두 벡터는 종속관계에 있다고 한다.

(2) · (1,1) + (-1) · (2,2) =(0,0) 

에서 볼때 두 벡터 (1,1)과 (2,2)는 종속관계에 있다.

이 외에 영벡터를 만들기 위해 모든 a 가 0이여야 하는 관계를 독립관계를 갖는다고 한다.

 

벡터 평면에서 종속관계에 있는 두 벡터는 갖은 직선상에 위치한다.

 

독립관계에 있는 두 벡터의 선형결합을 통해 벡터 평면상의 모든 벡터를 만들어 낼 수 있다.

독립관계에 있는 두벡터에서 하나의 새로운 c(x,y)를 더하면 독립 관계가 유지 될까?

결론은 아니다 이다.

앞선 설명과 같이 독립인 두 벡터는 모든 벡터를 만들어 낼 수 있기에 -c(x,y) 로 표현 되는 벡터 또한 만들어 낼 수 있다.

-c(x,y) + c(x,y) = (0,0) 으로 표현되고 어떠한 C에도 영벡터가 만들어 지기 때문에 독립이 유지되지 않는다. 

우리가 벡터의 독립관계를 논 할 수 있는 것은 다른 두벡터에 대해서 한정이다.

 

이 처럼 독립 관계를 갖는 두 벡터를 우리는 기저(Basis) 라고 한다. 예를 들어 (1,0), (0,1) 또한 기저벡터라 할 수 있다.

(1,0), (0,1) 는 좀더 특별히 한 축만을 사용하는데 이처럼 n차 벡터 공간의 축을 대표하는 기저벡터를 

표준기저벡터라고 정의 내릴 수 있다. 

 

표준기저벡터