1. 수

1장 에서는 앞으로 다루게될 수학이라는 도구를 사용하기전 '수'의 종류와 특징에 대해서 이야기한다.

분류	정의
자연수	물건을 세거나 순서를  지정하기 위한 수의 집합
정수	자연수와 자연수의 음수 0을 포함하는 수의 집합
유리수	분모가 0이 아닌 두 정수의 비율 혹은 분수로 표현가능한 수의 집합
무리수	두 정수의 비 혹은 분수로 나타낼 수 없는 수의 집합
실수	유리수와 무리수를 포함하는 수의 집합
복소수	실수와 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 조합해 a+bi의 형태로 표현하는 수의 집합
사원수	실수와 제곱하면 -1이 되는 세 허수의 단위 i, j, k 형태로 표현하는 수의 집합

 

연산과 수의 구조

수집합의 고유한 특징은 원소를 이용해 연산을 한다는 것

사칙연산이 있으며 두 원소를 사용하여 새로운 원소를 만들어내기에 이항연산 이라고도 한다.

 

같은 집합에 속한 두 수를 사용한 이항연산의 결과가 항상 같은 집합에 속하는 것을 닫혀있다라고 한다.

 

이항연산의 성질

• 교환 법칙
• 결합 법칙
• 분배 법칙

항등원과 역원

a + b = a
a * 1 = a

임의의 수와 연산 결과가 항상 동일한 수로 만들어주는 특별한 수를 항등원 이라 한다. 덧셈에서 b는 항등원이고

임의의 수 a에 대해서 항상 성립하기 위해서는 b = 0이다. 

즉 0은 덧셈의 항등원이다.

마찬가지로 1 은 곱셈의 항등원이라고 할 수 있다.

 

역원은 임의의 수와의 연산의 결과를 항상 항등원으로 만들어 주는 수다.

a + (-a) = 0
a * 1/a = 1

다음에서 -a 와 1/a가 a의 덧셈에서의 역원, a의 곱셈에서의 역원 이라고 할 수 있다.

위에서 항등원이 0과 1로 고정되어 있는 반면 역원의 경우는 주어진 수에 따라 값이 달라진다.

 

체 (field)

1. 연산에 대해 닫혀있다.

2. 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.

3. 연산에 대한 항등원이 존재한다.

4. 연산에 대한 역원이 존재한다.

5. 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.

6. 두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.

7. 두 번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.

8. 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.

9. 두 번째 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.

10. 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.

11. 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다.(0제외)

 

결론은 위의 조건을 모두 만족하는 수 집합을 체(field)라고 하며 정수는 체에 해당되지 않는다.

체에 해당 하는 수는 유리수와 실수의 집합이다.

체의 구조를 갖는 수 집합은 예외 상황 없이 덧셈과 곱셈을 자유롭게 사용 가능하다.

 

뺄셈과 나눗셈의 경우는 각각 합과 곱의 역원을 사용하는 것으로 표현

가능하다.

 

함수

집합 X 와 Y 의 원소를 각각 x, y 로 두자.

함수는 이 서로 다른 두개 이상의 집합의 대응에 관한 논의 이다. 

함수가 되는 조건

1. 첫번째 집합의 모든 원소에 대한 대응관계가 존재 해야함

2. 첫번째 집합의 원소는 두 번째 집합의 한 원소에만 대응 되어야함.

(All , One 이라고 공부했던기억이 난다.)

X의 원소들을 정의역이라고 한다.

Y의 원소들을 공역이라고 한다.

Y의 원소들(공역) 중 정의역에 대응되는 녀석들을 치역이라고 한다.

치역은 공역의 부분집합이다.

 

함수의 기본 개념을 가지고 더 많은 종류의 함수에 대해 이해할 수 있다.

 

전사함수

전사함수는 쉽게 말해 공역 = 치역 이다. 모든 Y의 원소들이 X집합과 대응 되는 함수이다.

전사함수

전사함수가 아닌 예

 

단사함수

일대일 함수라고도 한다. 정의역과 공역의 요소가 일대일로 대응하는 것을 의미한다.

공역 중 대응되지 않은 y가 존재해도 단사함수 라고 할 수 있다.

단사함수

전단사함수

정의역과 공역의 모든 요소가 빠짐없이 일대일로 대응되는 함수를 의미한다. 위의 그림에서 C가 없으면 

전단사함수가 된다.

 

항등함수와 역함수

앞서 역원에 대해 설명할때 어떤 수에 역원을 연산하면 항등원이 된다고 했다.

함수에서도 동일한 개념이 사용된다.

어떤 함수에 역함수를 합성하면 항등 함수가 된다.

항등 함수는 기호로 id 로 표현한다.

f  º  f^-1 =  id
f^-1 º f= id

중요한 점은 모든 함수에 대해 역함수가 존재하지 않는 다는 것이다.

역함수를 가지기 위해서는 반드시 전단사함수여야 한다는 조건이 있다.